Zamislite mirno jezero i na njegovoj površini jedan plovak. Plovak miruje. Ništa se ne događa. Živa dosada. A onda... jezerom prođe čamac i napravi valove. Valovi dođu do plovka i natjeraju ga da se periodično podiže i spušta. Kažemo da plovak titra. U nekom trenutku ima neki otklon od ravnotežnog položaja. To zovemo elongacijom. Matematički rečeno, elongacija je funkcija vremena koja opisuje položaj plovka. To pišemo kao x(t). Pjesnički rečeno, plovak pleše kako val dirigira. Više nije dosadno, ali nije baš ni jako zanimljivo.

Puno zanimljivije postaje kad jezerom prođu dva čamca. Svaki čamac napravi svoje valove. Pa do plovka dođu i jedni i drugi valovi. Kako će sad plovak plesati, uz dva dirigenta? Jedan val naređuje recimo: spusti se centimetar dolje. Drugi val pak naređuje: digni se pola centimetra gore. Koga će plovak slušati?

Načelo linearne superpozicije

Kad bi postojao samo prvi val plovak bi titrao po funkciji x₁(t). Kad bi postojao samo drugi val plovak bi titrao po funkciji x₂(t). Uz oba vala plovak titra po funkciji x(t). Pitanje se svodi na to kako x(t) povezati s x₁(t) i x₂(t). Kako istodobno nametnuti i jednu i drugu elongaciju? Metnuti jedno preko drugog se stručno kaže superponirati. Tražimo, dakle, superpoziciju x₁(t) i x₂(t). Na razne matematičke načine bismo od x₁ i x₂ mogli dobiti x. Na primjer, mogli bismo računati aritmetičku sredinu ili geometrijsku sredinu, mogli bismo vaditi drugi korijen iz zbroja kvadrata.

Priroda se, međutim, odlučila za najjednostavniju varijantu: ukupna elongacija je naprosto zbroj dviju elognacija, x = x₁ + x₂. U matematici se takva vrsta odnosa zove linearnim. Zato se pravilo po kojem se iz dvaju valova (koji u isto vrijeme dolaze na isto mjesto) određuje rezultantni val naziva načelo linearne superpozicije.

Kontruktivna i destruktivna interferencija

Miješanje ili sraz valova stručno se naziva interferencija. Utjecaj interferencije valova uvijek se može predvidjeti primjenom načela linearne superpozicije. Posebno su zanimljive dvije situacije za valove koji su koherentni (još jedna stručna riječ). Koherencija u općem smislu je prostorna i vremenska usklađenost. Konkretno, oba vala imaju istu valnu duljinu (ili istu frekvenciju, što je svejedno) i isti smjer. Zgodno je još kad imaju još i istu amplitudu (maksimalnu elongaciju).

Dva koherentna vala ujedno imaju nepromjenjivi pomak u fazi. To znači da se, kako valovi putuju, ne mijenja udaljenost između vrha jednog vala i vrha drugog vala. I sad se možemo vratiti na spomenute dvije zanimljive situacije za koherentne valove istih amplituda. U prvoj je pomak u fazi nula, odnosno nema pomaka u fazi: brijeg jednog vala poklapa se s brijegom drugog vala. Kad takva dva vala dođu u isto vrijeme na isto mjesto nastaje konstruktivna interferencija. Amplituda rezultantnog vala se udvostruči.

U drugoj zanimljivoj situaciji pomak u fazi je 180 stupnjeva, što znači da se brijeg jednog vala poklapa se s dolom drugog vala. Kad takva dva vala dođu u isto vrijeme na isto mjesto nastaje destruktivna interferencija. Amplituda rezultantnog vala je nula. U prvom slučaju se val udvostruči, u drugom se poništi. Jedna popularna primjena destruktivne interferencije danas su noise-cancelling slušalice koje eliminiraju vanjske zvukove. To je sjajna stvar, ali i prilično opasna ako se koristi na ulici. Naime, ljudi s takvim slušalicama znaju završiti pod kotačima.

Stojni valovi i harmonici

Kad val naiđe na čvrstu prepreku on se odbije. Konkretno, val koji putuje po žici gitare se dolaskom na kraj žice preokrene i nastavi putovati u suprotnom smjeru, slično kao što se plivač u bazenu okrene kad dođe do ruba. Samo što je plivač pojedinačni objekt, on je ovdje ili ondje, ne postoji istovremeno njegova verzija koja pliva u jednom smjeru i verzija koja pliva u drugom smjeru. Kod vala je drukčije. Val je prisutan posvuda. Istodobno postoje i val koji odlazi po žici i val koji se vraća. I što rade ta dva vala koja istodobno putuju u različitim smjerovima? Interferiraju.

To znači da se u nekim točkama žice valovi pojačavaju, u nekima poništavaju. U konačnici, mogu preživjeti samo valovi s nekim valnim duljinama, odnosno pripadajućim frekvencijama. Prvi takav je val koji ima dva čvora, na samim krajevima žice, i jedan trbuh, u sredini žice. Kod njega pola valne duljine odgovara duljini žice. Znači, valna duljina jednaka je dvostrukoj duljini žice. Iz valne duljine i brzine vala (koja pak ovisi o napetosti i linearnoj gustoći žice) dobije se odgovarajuća frekvencija. A frekvencija odgovara tonu. Taj osnovni ton je prvi harmonik.

Ali to nije jedina mogućnost. Postoje i viši harmonici. Prvi viši harmonik ima tri čvora i dva trbuha. Treći čvor je sad u sredini žice, a duljina žice odgovara točno valnoj duljini. Svaki viši harmonik ima po jedan čvor više. Kad žica titra obično dominira osnovni harmonik, no prisutni su i drugi harmonici. Koji su harmonici prisutni i u kojem omjeru intenziteta, to je ono što određuje boju tona ili timbar. Po tome se neki ton (recimo srednji C) na gitari razlikuje od istog tona (srednjeg C) na violini ili klaviru.

Dario Hrupec docent je na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku. Bavi se visokoenergijskom gama-astronomijom. Član je međunarodnih kolaboracija MAGIC i CTA. Autor je niza srednjoškolskih udžbenika iz fizike i tri znanstveno-popularizacijske knjige: "Protiv nadnaravnoga", "Ažurirani svemir" i "Razumljivi svijet".